Por Frank Salvador Ygnacio Rosas;
Miembro del equipo de Mercado de Capitales de The Key.
Es bastante común observar cómo personas dedicadas a las finanzas cuantitativas ignoran ideas fundamentales ligadas al mercado de capitales. Yo he sido uno de ellos: la praxis me llevó a lugares maravillosamente insospechados; sin embargo, descubrí después que solo la doctrina convierte aventureros en verdaderos exploradores. Por ello, en el siguiente artículo propongo un sencillo test basado en el conocido Modelo Binomial.
Digamos que una opción call, que expira mañana, tiene un precio strike de $100. Da la casualidad que la acción subyacente de esa opción cotiza hoy también a $100. Ahora bien, usted sabe que la probabilidad de que la acción suba $1 para mañana es 60%, y que la probabilidad de que caiga $1 es 40%. Suponiendo que no existen tasas de interés, ¿cuál sería el valor de la opción?
Gráficamente, tenemos algo así:
La primera solución que se viene a la mente es calcular el valor de la opción tomando su expectativa de pago en la expiración (t+1), y llevándola al presente (t). Así, sabiendo que la opción tiene un strike igual a $100, eso quiere decir que el día de mañana existen dos escenarios: 1) si la acción sube, ejecuto la opción al precio strike y vendo la acción en ese momento, ganando un $1 ($101-$100); o 2) no hago nada, debido a que la acción bajó y mi opción expiró “out of the money” (es decir, con un strike por debajo del precio de la acción, ya que es una opción call,). Entonces, dado que no existen tasas de interés, el valor presente en t de los pagos en t+1 recibidos por la opción será:
Siendo así $0.60 el valor de la opción en t.
¿Esta es la respuesta correcta? Veamos otro camino.
Digamos que, además de comprar la opción, vendo en corto ½ acciones del subyacente. Hoy en día es posible comprar o vender fracciones de acciones, pero hay que recordar que las opciones se comercializan en lotes de 100; por ende, vender en corto ½ de acciones supone hacerlo con 50 de ellas. Entonces, siguiendo con el ejemplo, ya no tenemos solo una posición alcista con una opción call, sino también una posición en corto sobre el subyacente de nuestra opción; es decir, tenemos un portafolio. Entonces, si la acción cae, ganamos dinero por nuestra posición en corto, pero perdemos por nuestra opción call (la prima, para ser concretos); en contraste, si la acción sube, ganamos dinero por nuestra opción, pero perdemos por nuestra posición en corto; es decir, estamos “coberturados”.
A partir de esto, estimemos el valor de nuestro portafolio en t+1 para ambos escenarios. Entonces, si la acción sube a $101, el valor de nuestro portafolio será:
De igual forma, si la acción cae a $99, el valor de nuestro portafolio será:
En ambos escenarios, el valor del portafolio es exactamente el mismo. Tiene sentido, ya que hemos “coberturado” nuestra exposición al riesgo. Ahora bien, tenemos que llevar al presente el valor de nuestro portafolio. Conocemos el valor en t de nuestra venta en corto, que fue ½ (100), pues vendimos ½ acciones al precio de $100. Solo nos queda conocer el valor de la opción en t, que llamaremos V. Así, sabiendo que no existen tasas de interés, el valor del portafolio en t debe ser igual a su valor en t+1. Por tanto:
Un momento. ¿Cómo es posible que, bajo este método, el valor de la opción sea $0.5, mientras que con en el anterior es de $0.6? ¿Cuál es el correcto?
Elegir la respuesta correcta diferencia al aventurero del verdadero explorador. La mayor parte de las personas supondrá que $0.6 es la solución lógica. Sin embargo, el verdadero valor de la opción es $0.5.
Esto se debe a que, para determinar el valor de una opción, no interesa la probabilidad de que la acción subyacente suba o baje, ni mucho menos en qué dirección se moverá. Todo lo que importa es qué tan aleatorio es el subyacente. Esta es la idea central del Modelo Binomial.
Finalmente, ¿cómo supimos qué ½ era la cantidad de acciones para vender en corto? Usando esta fórmula, conocida como “Delta”:
Esto es lo que se conoce como “Delta Hedging”, uno de los conceptos fundamentales detrás del Modelo Binomial.
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